Kierowca z Reading zaczynał swoją karierę za kierownicą Talbota Sunbeam w 1988 roku, jednak już w pierwszym sezonie został dostrzeżony przez ludzi z możliwościami, którzy chcieli wesprzeć jego karierę. Dzięki temu zaledwie 12 miesięcy później młody jeszcze Burns mógł przesiąść się do Peugeota 205 GTI, by ostatecznie wygrać klasę przeznaczoną dla francuskich samochodów. Pierwsze mistrzostwo pozwoliło mu na start w Rajdzie Wielkiej Brytanii, który udało się Richardowi ukończyć na 28. miejscu.
Przesiadka do Subaru Legacy RS i tytuły na coraz to wyższych szczeblach sprawiły, że już w 1993 roku Burns był częścią Subaru World Rally Team, z którym startował w rajdowych Mistrzostwach Wielkiej Brytanii zostając ich najmłodszym mistrzem w wieku 22. lat. Nie dziwnym jest więc, że w dwóch kolejnych sezonach zaliczył pojedyncze starty w Mistrzostwach Świata, w trakcie których udało mu się zająć pierwsze podium. Na kolejne lata to jednak Mitsubishi zaproponowało korzystniejszą ofertę i ściągnęło do siebie Brytyjczyka, który z roku na rok zdobywał coraz więcej doświadczenia w WRC, by w sezonie 1998 wygrać swój pierwszy rajd w mistrzostwach świata – Safari.
Odejście Colina McRae z Subaru sprawiło, że Burns został skuszony do powrotu i został liderem japońskiej ekipy. Początku za kierownicą nowej Subaru Imprezy WRC nie były łatwe, jednak od Rajdu Argentyny ekipa zaczęła się rozkręcać, by ostatecznie dać Richardowi pierwsze wicemistrzostwo świata. Wynik ten udało się powtórzyć w roku kolejnym a w sezonie 2001 zarówno kierowca, jak i zespół postawili kropkę nad i sięgając po najwyższe rajdowe trofeum.
Rozstanie z Subaru i przejście do kuszącego pieniędzmi Peugeota było dość burzliwe, jednak ostatecznie udało się rozstrzygnąć sprawy kontraktowe i w latach 2002-03 Brytyjczyk był kierowcą francuskiej stajni. Transfer nie przyniósł jednak Burnsowi poważniejszych sukcesów – ani wygranej w WRC, ani nawet miejsca na podium końcoworocznej klasyfikacji. Jego kariera skończyła się jednak przedwcześnie, gdyż przed rozpoczęciem Rajdu Wielkiej Brytanii 2003 Richard zasłabł w samochodzie, jego pilot zdołał zatrzymać auto, jednak incydent był spowodowany gwiaździakiem – nowotworem mózgu.
Burns przechodził chemio i radioterapie, a także operację w 2005 roku, która została przez lekarzy określona jako udana. Niestety pół roku później stan kierowcy zaczął się pogarszać i tym razem już nic nie można było zdobyć. Brytyjczyk odszedł dokładnie w czwartą rocznicę wywalczenia swojego jedynego tytułu Rajdowego Mistrza Świata.
